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在直三棱柱ADE-BCF中，∠ADE=90°，AD=AE=EF=2，M，N分别是AF，BC的中点．（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求多面体A-CDEF的体积V．
题目详情
在直三棱柱ADE-BCF中，∠ADE=90°，AD=AE=EF=2，M，N分别是AF，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积V．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积V．
▼优质解答
答案和解析
（1）证明：连接BF，则BF过M点，连接CF，取CF的中点G，连NG
在△CBF中，NG∥FM，NG=FM
∴四边形MNGF为平行四边形，∴MN∥GF
又∵GF⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF
∴MN∥平面CDEF
（2） 过A点作AP⊥DF于P点，则P为DF的中点，∴AP⊥DF
∵三棱柱为直棱柱
∴AP⊥面CDEF
∴多面体A-CDEF的体积V=
×2×2
×
=
．
在△CBF中，NG∥FM，NG=FM
∴四边形MNGF为平行四边形，∴MN∥GF
又∵GF⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF
∴MN∥平面CDEF
（2） 过A点作AP⊥DF于P点，则P为DF的中点，∴AP⊥DF
∵三棱柱为直棱柱
∴AP⊥面CDEF
∴多面体A-CDEF的体积V=
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