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在直三棱柱ADE-BCF中,∠ADE=90°,AD=AE=EF=2,M,N分别是AF,BC的中点.(1)求证:MN∥平面CDEF;(2)求多面体A-CDEF的体积V.
题目详情
在直三棱柱ADE-BCF中,∠ADE=90°,AD=AE=EF=2,M,N分别是AF,BC的中点.

(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A-CDEF的体积V.

(1)求证:MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A-CDEF的体积V.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接BF,则BF过M点,连接CF,取CF的中点G,连NG

在△CBF中,NG∥FM,NG=FM
∴四边形MNGF为平行四边形,∴MN∥GF
又∵GF⊂平面CDEF,MN⊄平面CDEF
∴MN∥平面CDEF
(2) 过A点作AP⊥DF于P点,则P为DF的中点,∴AP⊥DF
∵三棱柱为直棱柱
∴AP⊥面CDEF
∴多面体A-CDEF的体积V=
×2×2
×
=
.

在△CBF中,NG∥FM,NG=FM
∴四边形MNGF为平行四边形,∴MN∥GF
又∵GF⊂平面CDEF,MN⊄平面CDEF
∴MN∥平面CDEF
(2) 过A点作AP⊥DF于P点,则P为DF的中点,∴AP⊥DF
∵三棱柱为直棱柱
∴AP⊥面CDEF
∴多面体A-CDEF的体积V=
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