有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．

Question

有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．

Answer 1

试题分析：本题解法有4种,①由直线与圆相切于点A可设方程 ,再过点B可求出 ,即求出圆的方程.②可以设圆的标准方程 ,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出 从而得到圆的方程.③可设所求圆的方程的一般式,写出圆心坐标,由圆心和切点连线与切线垂直且圆过A,B两点可找到三个关系式求出 从而得到圆的方程.④设出圆心坐标,由几何意义可以由圆心和切点连线与切线垂直先求出直线CA方程,再由A,B坐标求出直线AB的方程,由AB的垂直平分线与CA相交于点C,再CA的长度即为圆的半径从而得到圆的方程.
试题解析：
法一：由题意可设所求的方程为 ，又因为此圆过点 ，将坐标 代入圆的方程求得 ，所以所求圆的方程为 .
法二：设圆的方程为 ，
则圆心为 ，由 ，得
解得
所以所求圆的方程为 .
法三：设圆的方程为 ，由 ， , 在圆上，得
解理
所以所求圆的方程为 .
法四：设圆心为C，则 ，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为 ，
即 .
又因为 ，
所以 ，所以直线BP的方程为 .
解方程组 得 所以 ．
所以圆心为AP的中点 ，半径为 ,
所以所求圆的方程为 .