已知函数f（x）=mx3+nx2的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是______．

Question

已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行，若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，则实数t的取值范围是______．

Answer 1

由已知条件得f'（x）=3mx²+2nx，
由f'（-1）=-3，∴3m-2n=-3．
又f（-1）=2，∴-m+n=2，
∴m=1，n=3
∴f（x）=x³+3x²，∴f'（x）=3x²+6x．
令f'（x）＜0，即x²+2x＜0，
函数f（x）的单调减区间是（-2，0）．
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
则实数t的取值范围是[-2，-1]
故答案为[-2，-1]．