已知双曲线中心在原点O,焦点在X轴上,两条渐近线分别为L1 L2.经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1 L2于A,B两点,已知向量OA、AB、OB的模成等差数列、且向量BF与FA同向.（1） 求双曲线的离心率（2

Question

已知双曲线中心在原点O,焦点在X轴上,两条渐近线分别为L1 L2.经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1 L2于A,B
两点,已知向量OA、AB、OB的模成等差数列、且向量BF与FA同向.
（1） 求双曲线的离心率
（2）设AB被双曲线所截得线段长为4,求双曲线的方程：

Answer 1

（1）双曲线的渐近线方程为 y = (b/a)x ,y = -(b/a)x
由于直线AB垂直于L1,故直线AB的方程为：y = -(a/b)*(x - c)
这是因为两条垂直的平面直线其斜率的积是 -1.
将两条渐近线方程分别与直线AB的方程联立,求得A,B两点坐标
A（(a^2)/c,ab/c） B((ca^2)/(a^2 - b^2),-abc/(a^2 - b^2))
已知向量OA、AB、OB的模成等差数列,故由直角三角形勾股定理的性质,不妨设：
OA = 3k AB = 4k OB = 5k 这里k等于某一非零正常数
固有：OA^2/OB^2 = 9/25,将A B的坐标代入,求得OA与OB,求得：
(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = 5/3
整理得：离心率e = c/a = √5 / 2
(2) 由上问得到的结果,不妨再设：
a = 2m b = m c = √5m 这里m等于某一非零常数
因此双曲线方程可以写成：
x^2/4m^2 - y^2/m^2 = 1,再将直线AB的方程代入该式,经整理有：
15x^2 - 32√5x + 84m^2 = 0
x1 + x2 = m(32√5)/15 x1x2 = 84m/15
由于双曲线的弦长公式为：|x1 - x2|√(1 + k^2)
|x1 - x2| = √[(x1 + x2)^2 - 4x1x2]
将两根之和与两根之积的结果代入上式,得到：
弦长 = 4 = (4/3)m,m = 3
故双曲线方程为：x^2/36 - y^2/9 = 1