已知抛物线y=x^2-1上一个定点B(-1,0)和两个动点PQ,当点P在抛物线上运动时,PQ⊥BP,则点Q横坐标的取值范围为要求详解

Question

已知抛物线y=x^2-1上一个定点B(-1,0)和两个动点PQ,当点P在抛物线上运动时,PQ⊥BP,则点Q横坐标的取值范围为
要求详解

Answer 1

由题意,可设点P(p,p^2-1),Q(q,q^2-1),又点B(-1,0),===>向量PQ=(q-p,q^2-p^2),向量BP=(p+1,p^2-1).由题设,0=PQ*BP=(q-p,q^2-p^2)*(p+1,p^2-1)=(q-p)(p+1)+(q^2-p^2)(p^2-1).===>(q-p)(p+1)[1+(q+p)(p-1)]=0.易知,p≠q,p≠-1,故1+(q+p)(p-1)=0,===>p^2+(q-1)p+1-q=0.===>(q-1)^2-4(1-q)≥0,===>(q-1)(q+3)≥0.===>q≤-3,q≥1 ===>点Q的横坐标的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).