如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD-AD=2，求O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作 O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．

（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD-AD=2，求 O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2） ∵AB=AC，
∠B=∠C，
∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C，
∴BD=DC=DE=3，
∵BD-AD=2，
∴AD=1，
在RT△ABD中，AB=√(AD2+BD2)=√(10)，
∴ O的半径为(√(10))/(2)；
（3） ∵AB=AC=√(10)，BD=DC=3，
∴BC=6，
∵AC•EC=DC•BC，
∴√(10)•EC=3×6，
∴EC=(9)/(5)√(10)，
∴AE=EC-AC=(9)/(5)√(10)-√(10)=(4)/(5)√(10)．