设集合A={x|x=a2-b2,a属于Z,b属于Z}.求证：对k属于Z,4k-2不属于A,2k-1属于A

Question

设集合A={x|x=a2-b2,a属于Z,b属于Z}.求证：对k属于Z,4k-2不属于A,2k-1属于A

Answer 1

第一个问题：
利用反证法.
假设4k－2∈A,则有：a^2－b^2＝4k－2＝偶数,∴a、b一定是偶数.
∴可令a＝2m、b＝2n,其中m、n都是整数.得：
a^2－b^2＝4m^2－4n^2＝4（m^2－n^2）＝4k－2.
显然,4（m^2－n^2）能被4整除,而4k－2不能被4整除,∴a^2－b^2＝4k－2是不能成立的.
∴4k－2不属于集合A.
第二个问题：
当a＝2m、b＝1时（m是整数）,a^2－b^2＝4m^2－1＝2×（2m^2）－1.
令k＝2m^2,得：a^2－b^2＝2k－1.
∴2k－1∈集合A.