（2012•路北区一模）如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，-3）．（1）求抛物线的对称轴及k值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时

Question

（2012•路北区一模）如图，抛物线y=（x+1）²+k与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的对称轴及k值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标；
（4）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）抛物线的对称轴为直线x=-1，
把C（0，-3）代入y=（x+1）²+k得-3=1+k，
∴k=-4；
（2）连接AC，交对称轴于点P，如图1，
对于y=（x+1）²-4，令y=0，则（x+1）²-4=0，解得x₁=1，x₂=-3，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
设直线AC的关系式为：y=mx+b，
把A（-3，0），C（0，-3）代入y=m x+b得

−3m+b＝0

b＝−3

，解得

m＝−1

b＝−3

，
∴直线AC的关系式为y=-x-3，
当x=-1时，y=1-3=-2，
∴P点坐标为（-1，-2）；
（3）连接OM，如图1，设M点坐标为（x，（x+1）²-4）
S_{四边形AMCB}=S_△AMO+S_△CMO+S_△CBO=(1)/(2)×AO×|y_m|+(1)/(2)×CO×|x_m|+(1)/(2)×OC×BO
=(3)/(2)[4-（x+1）²]+(1)/(2)×3×（-x）+(1)/(2)×3×1
=-(3)/(2)x²-(9)/(2)x+6
=-(3)/(2)（x+(3)/(2)）²+(75)/(8)，
当x=-(3)/(2)时，S最大，最大值为