甲乙俩名运动员在同一条环形跑道上练习跑步,他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈回到出发地点立即调头加速跑第2圈.跑第一圈时,乙的速度是甲速度的3分之2,甲跑第2圈时

Question

甲乙俩名运动员在同一条环形跑道上练习跑步,他们同时从同一地点出发,沿相反方向跑,每人跑完第一圈回到出发地点立即调头加速跑第2圈.跑第一圈时,乙的速度是甲速度的3分之2,甲跑第2圈时速度比第1圈时提高了3分之1,乙跑第2圈时的速度比第1圈时提高了5分之1,已知甲乙两人第2次相遇点距第1次相遇点190米,求这条环形跑道的长度是多少米?

Answer 1

设两人第一圈时,甲的速度是k（单位是米/秒,以下的速度单位都是,省略）,则根据已知可知乙的速度是2k/3,两人的速度比为：甲：乙=3：2
设一圈的长度是S米 （之后的单位也省掉）
假设,第一圈时,甲、乙同时从A点出发,甲按照逆时针方向跑,乙按顺时针跑
显然,他们第一次相遇在B点时,两人跑过的总路程是S,根据甲乙速度比是5/3的条件,可得出,此时乙跑过的距离是S*[2/(2+3)]=2S/5,也就是说,此时B点距离A点的最短距离（也就是按照从B到A的逆时针方向）是2S/5 ①
两人自B点相遇后,各自继续沿原来的方向以原先的速度跑,显然,由于甲快于乙,他一定可以先到达出发点A,此时甲恰好跑完一圈,距离为S,而乙此时仅仅跑到C点,这个跑过的距离仍然可按照速度比是3:2求出,为S*(2/3)=2S/3,这意味着,点C到出发点A的距离,如果按照从B点到C再到A点的顺时针距离来算的话,就是S- 2S/3 =S/3
此后,甲由于已经到达出发点A,速度提升了1/3,变为k*(1+1/3)=4k/3,同时,他改为按照顺时针的方向开始跑,与此时的乙方向相同,而乙的速度仍然是2k/3,于是,甲乙的速度比变为2：1
当乙跑完剩下的S/3的距离到达出发点A时,由于速度比2:1的关系,甲已经跑了(S/3)*2=2S/3,也就是说,此时按照从B到A顺时针方向算的话,恰好就是C点,此时他距离A点的顺时针距离为(S- 2S/3)=S/3；之后,甲仍然按照以速度4k/3顺时针的方向跑,而乙由于到达出发点,速度变为(2k/3)*(1+1/5)=4k/5,方向变为沿逆时针与甲相对而跑,两人之间的速度比再度发生改变,变为甲：乙=(4k/3):(4k/5)=5:3
两人相向而行,直到第二次相遇在D点时,跑过的总路程为S/3,故乙跑过了(S/3)*[3/(3+5)]=S/8,说明此时的D点如果沿顺时针从D到A的方向来算,距离A恰好为S/8的距离
题目所给的两次相遇距离190米的条件,意味着两个相遇点B与D之间的距离,但是,在一个圆周上,两点之间的距离可能存在两个值,两个值相加起来恰好为圆周的长,由于题目并没有明确规定相遇距离从何算起,故只能分类讨论：
由刚才的描述画出图,明显可以看出,DB=DA+AB=（2S/5 + S/8）=21S/40,也就是说,BD间的距离为21/40个圆周的长度,或者是(1-21/40)=19/40个圆周的长度,因此可列出：190=21S/40,或者190=19S/40
求出S=362（约等于）米 或者 S=400米