如图所示的xOy坐标系中，y轴右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向里．P点的坐标为（-6L，0），Q1、Q2两点的坐标分别为（0，3L），（0，-3L）．坐标

Question

如图所示的xOy坐标系中，y轴右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向里．P点的坐标为（-6L，0），Q₁、Q₂两点的坐标分别为（0，3L），（0，-3L）．坐标为（-L，0）处的C点固定一平行于y轴放置一足够长的绝缘弹性挡板，带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y方向分速度不变，沿x方向分速度反向，大小不变．带负电的粒子质量为m，电量为q，不计粒子所受重力．若粒子在P点沿PQ₁方向进入磁场，经磁场运动后，求：

（1）只与挡板碰撞一次并能回到P点的粒子初速度大小；
（2）粒子能否经过坐标原点O之后再回到P点；
（3）只与挡板碰撞三次并能回到P点的粒子初速度大小以及这种情况下挡板的长度至少为多少．

Answer 1

（1）粒子与挡板只碰撞一次，粒子运动的轨迹如图一所示，粒子运动的轨道半径为R，碰撞前后出入磁场两点之间的距离为L
则：根据几何关系可得：4Rcosθ-L=6L，其中：cosθ=(2√(5))/(5)
解得：R=(7√(5)L)/(8) ①
根据半径公式：R=(mv)/(qB) ②
联立①②式可得：v=(7√(5)qBL)/(8m)
（2）设粒子在x轴上方与挡板碰撞n次，
每次圆周运动，粒子位置沿y轴向下平移的距离为2Rcosθ，
与挡板相碰后，粒子位置向上平移的距离为L，
一次周期性运动粒子沿y轴共向下平移为2Rcosθ-L，
要使粒子经过坐标原点O之后再回到P点需满足：
（n-1）（2Rcosθ-L）+2Rcosθ=3L  （n=2，3，4…） ③
联立②③式子可得：v=((n+2)qBL)/(2nmcosθ) （n=2，3，4…）
所以，只要粒子速度满足v=((n+2)qBL)/(2nmcosθ) （n=2，3，4…）粒子就可以经过坐标原点O之后再回到P点（图二为n=2时的过程图）
（3）若与挡板碰撞三次，如图二所示，设挡板的长度L₀
根据几何关系可得：3（2Rcosθ-L）+2Rcosθ=6L
解得：R=(9√(5)L)/(16) ④
根据半径公式：R=(mv)/(qB)可得：v=(9√(5)qBL)/(16m) ⑤
联立④⑤式子可得：挡板的长度的最小值L₀=2（2Rcosθ-L）=2.5L
答：（1）只与挡板碰撞一次并能回到P点的粒子初速度大小为(7√(5)qBL)/(8m)；
（2）粒子能经过坐标原点O之后再回到P点；
（3）只与挡板碰撞三次并能回到P点的粒子初速度大小以及这种情况下挡板的长度至少为2.5L．