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已知函数f(x)=ax3+x2-ax,其中常数a∈R,x∈R.(1)若函数f(x)在区间(1,2)上不是单调函数,试求a的取值范围;(2)如果存在a∈(-∞,-1],使函数h(x)=f(x)+f′(x),x∈[-1,b](b
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已知函数f(x)=ax3+x2-ax,其中常数a∈R,x∈R.
(1)若函数f(x)在区间(1,2)上不是单调函数,试求a的取值范围;
(2)如果存在a∈(-∞,-1],使函数h(x)=f(x)+f′(x),x∈[-1,b](b>-1),在x=-1处取得最小值,试求b的最大值.
(1)若函数f(x)在区间(1,2)上不是单调函数,试求a的取值范围;
(2)如果存在a∈(-∞,-1],使函数h(x)=f(x)+f′(x),x∈[-1,b](b>-1),在x=-1处取得最小值,试求b的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由f′(x)=3ax2+2x-a=0,
得a=−
,
令y=−
,
则y′=
>0,
所以y=−
在区间(1,2)上递增,其值域为(−1,−
),
所以a的范围是(−1,−
).
(2)h(x)=ax3+(3a+1)x2+(2-a)x-a,
据题知,h(x)≥h(-1)在区间[-1,b]上恒成立,
即:(x+1)(ax2+(2a+1)x+(1-3a))≥0…①
当x=-1时,不等式①成立;
当-1<x≤b时,不等式①可化为ax2+(2a+1)x+(1-3a)≥0…②
令ϕ(x)=ax2+(2a+1)x+(1-3a),
由a∈(-∞,-1]知其图象是开口向下的抛物线,
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得.
又ϕ(-1)=-4a>0,故不等式②成立的充要条件是ϕ(b)≥0,
整理得:
≤−
在a∈(-∞,-1]上有解,
所以
≤(−
)max=1,
解得−1<b≤
,
所以b的最大值为
.
得a=−
2x |
3x2−1 |
令y=−
2x |
3x2−1 |
则y′=
6x2+2 |
(3x2−1)2 |
所以y=−
2x |
3x2−1 |
4 |
11 |
所以a的范围是(−1,−
4 |
11 |
(2)h(x)=ax3+(3a+1)x2+(2-a)x-a,
据题知,h(x)≥h(-1)在区间[-1,b]上恒成立,
即:(x+1)(ax2+(2a+1)x+(1-3a))≥0…①
当x=-1时,不等式①成立;
当-1<x≤b时,不等式①可化为ax2+(2a+1)x+(1-3a)≥0…②
令ϕ(x)=ax2+(2a+1)x+(1-3a),
由a∈(-∞,-1]知其图象是开口向下的抛物线,
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得.
又ϕ(-1)=-4a>0,故不等式②成立的充要条件是ϕ(b)≥0,
整理得:
b2+2b−3 |
b+1 |
1 |
a |
所以
b2+2b−3 |
b+1 |
1 |
a |
解得−1<b≤
−1+
| ||
2 |
所以b的最大值为
−1+
| ||
2 |
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