设A是4阶矩阵,且A的行列式A=0,则A中()设A是4阶矩阵,且A的行列式A=0,则A中()(A)必有一列元素全为0.(B)必有两列元素对应成比例.(C)必有一列向量是其余列向量的线

Question

设A是4阶矩阵,且A的行列式A=0,则A中 ( )
设A是4阶矩阵,且A的行列式A=0,则A中 ( )
(A) 必有一列元素全为0.
(B) 必有两列元素对应成比例.
(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合.
(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合.

Answer 1

此题如果是单项选择题选D,多项选择题选CD.行列式的值为零说明该对应矩阵不满秩,此题的难点在于ABCD四个选项都是题干的必要条件,CD是充分条件（同时也是充要条件）,而且ABC三个选项均包含在d的情况内,最终通过分析C选项表述不恰当来得到答案.我来针对四个选项一一解析.
注意到一个定理,初等列变换不改变行列式的值.
选项A,有一列元素全为0,它必然能说明A不满秩,所以首先它是必要的.假如这个有一列元素为0的矩阵叫A1,我们只需要对A1做初等列变换,变成任意一个没有一列元素全为0的A2,根据定理,它依然不满秩,行列式的值也为0.所以选项A可以推出题干,但是题干推不出来这个矩阵到底是A1还是任意一个A2.所以必要不充分,而题目问的是充分条件.
选项B,假如第一列是第二列的n倍,自然可以推出不满秩,假如这个矩阵是B1,那么,上述A1 A2都是它的反例.A1,A2均不满足B选项的条件,但是都能推出题干,我们也不能从题干推断出来这个矩阵到底是B1 A1还是A2.因此必要不充分.
选项C、D,假如一个矩阵的列向量分别是d1 d2 d3 d4.假如d1 d2 d3线性无关,任取三个数abc,令d4=a*d1+b*d2+c*d3.这时候我们发现,只要移项就完全可以推出选项D,同理D也能推出C,所以选项C、D等价.但是我们可以看出,选项C描述不完整,把能够表述为“任一”的问题表述为了“有一”.又由于C虽然描述不完整,但是C也是题干的充要条件,因此单项选择的时候选D,多项选择的时候选CD.
这种题的一个重要解题思路是反例排除法：对于任意一个选项的描述,我们只需要找到一个反例,说明该反例不满足选项也可以推出题干,即可排除这选项.