已知函数f（x）=ax2+x-xlnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[e，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f(x)x，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是2

Question

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[e，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=(f(x))/(x)，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=2ax-lnx（x＞0）．
∵f（x）在[e，+∞）上是增函数
∴f′（x）＞0，即a≥(1)/(2)×(lnx)/(x)，
 令h（x）=(1)/(2)×(lnx)/(x)，
∴h′（x）=(1−lnx)/(2x2)≤0
∴h（x）在[e，+∞）上是减函数，
∴当x=e时，h（x）_max=(1)/(2e)，
即a≥(1)/(2e)，
故实数a的取值范围为[(1)/(2e)，+∞）
（2）∵g（x）=(f(x))/(x)=ax+1-lnx，（x＞0）．
∴g′（x）=a-(1)/(x)=(ax−1)/(x)，
当a≤0时，g′（x）＜0，函数g（x）在∈（0，e]单调递减，g（x）_min=ae+1-1=2，解得a=(2)/(e)＞0，故不存在，
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=(1)/(a)，
∴g（x） 在（0，(1)/(a)）为减函数，在（(1)/(a)，+∞）为增函数，
当(1)/(a)＜e，即a＞(1)/(e)，函数g（x） 在（0，(1)/(a)）为减函数，在（(1)/(a)，e]为增函数，
∴当x=(1)/(a)时有最小值，g（x）_min=2+lna=2，解得a=1，
当(1)/(a)＞e，即a＜(1)/(e)，函数g（x） 在（0，e]为减函数，
∴当x=e时有最小值，g（x）_min=ae+1-1=2，解得a=(2)/(e)，而(2)/(e)＞(1)/(e)，故a不存在．
综上所述，存在实数a=1，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是2．