已知数列{an}的首项a1=1且存在常数p,r,t(其中r≠0),使得an+a(n+1)=r·2^(n-1)与a(n+1)=pan-pt对任意正整数n都成立；数列{bn}为等差数列(1)求常数p,r,t,并写出数列{an｝的通项公式(2)若干{bn}满足条件：1.b1为

Question

已知数列{an}的首项a1=1且存在常数p,r,t(其中r≠0),使得an+a(n+1)=r·2^(n-1)与a(n+1)=pan-pt对任意正整数
n都成立；数列{bn}为等差数列
(1)求常数p,r,t,并写出数列{an｝的通项公式
(2)若干{bn}满足条件：1.b1为正整数;2.公差为1;3.项数为m(m为常数);4.2(1+1/b1)(1+1/b2)(1+1/b3)…(1+1/bm)=log2am,试求所有满足条件的m值
(3)如果数列{an}与数列{bn}没有公共项,数列{an}与{bn}的所有项按从小到大的顺序排列成;1,c2,c3,c4,4,…,且1,c2,c3,c4成等比数列,试求满足条件的所有数列{bn}的通项公式

Answer 1

（1）a(n+1)+an=r*2^(n-1) 1
a(n+1)-p*an=p*t 2
a1=1
想要求出p,r,t,只需要分别求出两个数列的通项,使其对应参数相等即可
对于数列1：
假定a(n+1)+an=r(m*2^(n+1)+m*2^n)
则3*m=1/2,m=1/6
a(n+1)-(r/6)*2^(n+1)=(-1)(an-(r/6)*2^n)
a(n)=(-1)^(n-1)(a1-r/3)+(r/6)*2^n
对于数列2：
假定a(n+1)-p*an=p*(k*t-pk*t)
则k=1/(1-p),
a(n+1)-p*t/(1-p)=p*(an-p*t/(1-p))
an=p^(n-1)(a1-p*t/(1-p))+p*t/(1-p)
比较两式,由于r≠0,则数列2常数项必须为0
根据通项,p≠0,得出t=0,可进一步推出p=2,r=3
代入得到,an=2^(n-1)
（2）log2am=m-1,2(1+1/b1)(1+1/b2)(1+1/b3)…(1+1/bm)=b2/b1xb3/b2x.
(1+bm)/bm=2(1+bm)/b1,bm=b1+(m-1)x1,所以2(1+bm)/b1=2（1+m/b1)=m-1,即2m/(m-3)=b1,
b1>2,m>3,当b1>8时,m<4,又m>3,故m不为整数,所以b1<=8,对2得m的整数值为4,5,6,9.故所有满足条件的m值为4,5,6,9.