当x=20时，一个关于x的二次三项式的值等于694，若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式．

Question

当x=20时，一个关于x的二次三项式的值等于694，若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式．

Answer 1

设满足条件的二次三项式为ax²+bx+c（a、b、c都是常数，且abc≠0）．
∵x=20，ax²+bx+c=694，
∴400a+20b+c=694．    ①
∴400a=694-（20b+c）．
∵-10＜b＜10，-10＜c＜10，
∴-210＜20b+c＜210，
∴484＜400a＜904，
∴1.21＜a＜2.26．
又∵a是整数，
∴a=2．
将a=2代入①，得20b+c=-106．   ②
于是，20b=-106-c，
又-10＜c＜10，
∴-116＜20b＜-96，
∴-5.8＜b＜-4.8，
又∵b为整数，
∴b=-5．
将b=-5代入②，得c=-6．
将x=20代入2x²-5x-6，得其值为694．
∴满足条件的二次三项式只有2x²-5x-6．