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已知二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=-bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c属于R)(1)求证:两函数的图像交于不同的两点A、B;(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围
题目详情
已知二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=-bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c属于R)
(1)求证:两函数的图像交于不同的两点A、B;
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围
(1)求证:两函数的图像交于不同的两点A、B;
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围
▼优质解答
答案和解析
依题意,知a、b≠0,
∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0且c<0
(Ⅰ)令f(x)=g(x),得ax2+2bx+c=0.(*)
Δ=4(b2-ac)
∵a>0,c<0,∴ac<0,
∴Δ>0 ∴f(x)、g(x)相交于相异两点
(Ⅱ)设x1、x2为交点A、B之横坐标
则|A1B1|^2=|x1-x2|^2,
由方程(*),
知 |A1B1|^2=(4(a^2+c^2+ac)/(a^2)=4[(c/a)^2+(c/a)+1]...(**)
∵a+b+c=0,a>b 得 2a+c>0,c/a>-2.c
∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0且c<0
(Ⅰ)令f(x)=g(x),得ax2+2bx+c=0.(*)
Δ=4(b2-ac)
∵a>0,c<0,∴ac<0,
∴Δ>0 ∴f(x)、g(x)相交于相异两点
(Ⅱ)设x1、x2为交点A、B之横坐标
则|A1B1|^2=|x1-x2|^2,
由方程(*),
知 |A1B1|^2=(4(a^2+c^2+ac)/(a^2)=4[(c/a)^2+(c/a)+1]...(**)
∵a+b+c=0,a>b 得 2a+c>0,c/a>-2.c
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