已知二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=-bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c属于R)（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A、B；（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围

Question

已知二次函数y=ax^2+bx+c和一次函数y=-bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c属于R)
（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A、B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围

Answer 1

依题意,知a、b≠0,
∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0,∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）＝g（x）,得ax2＋2bx＋c＝0.（*）
Δ＝4（b2－ac）
∵a＞0,c＜0,∴ac＜0,
∴Δ＞0 ∴f（x）、g（x）相交于相异两点
（Ⅱ）设x1、x2为交点A、B之横坐标
则|A1B1|^2＝|x1－x2|^2,
由方程（*）,
知 |A1B1|^2=(4(a^2+c^2+ac)/(a^2)=4[(c/a)^2+(c/a)+1]...(**)
∵a+b+c=0,a>b 得 2a+c>0,c/a>-2.c