如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C(0，23)．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相

Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C(0，2√(3))．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），C(0，2√(3))；
∴

4a+2b+c=0

36a+6b+c=0

c=2√(3)

，
解得

a=(√(3))/(6)

b=-(4)/(3)√(3)

c=2√(3)

；
∴抛物线的解析式为：y=(√(3))/(6)x2-(4)/(3)√(3)x+2√(3)；（3分）

（2）易知抛物线的对称轴是x=4，
把x=4代入y=2x，得y=8，
∴点D的坐标为（4，8）；
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；（1分）
连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；
在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，
∴cos∠MDF=(1)/(2)；
∴∠MDF=60°，
∴∠EDF=120°；（2分）
∴劣弧EF的长为：(120)/(180)×π×8=(16)/(3)π；（1分）

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；
∵直线AC经过点A(2，0)，C(0，2√(3))，
∴

2k+b=0

b=2√(3)

，
解得

k=-√(3)

b=2√(3)

；
∴直线AC的解析式为：y=-√(3)x+2√(3)；（1分）
设点P(m，(√(3))/(6)m2-(4)/(3)√(3)m+2√(3))(m＜0)，PG交直线AC于N，
则点N坐标为(m，-√(3)m+2√(3))，
∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN；
∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=(3)/(2)GN；
即(√(3))/(6)m2-(4)/(3)√(3)m+2√(3)=(3)/(2)(-√(3)m+2√(3))；
解得：m₁=-3，m₂=2（舍去）；
当m=-3时，(√(3))/(6)m2-(4)/(3)√(3)m+2√(3)=(15)/(2)√(3)；
∴此时点P的坐标为(-3，(15)/(2)√(3))；（2分）
②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；
即(√(3))/(6)m2-(4)/(3)√(3)m+2√(3)=3(-√(3)m+2√(3))；
解得：m₁=-12，m₂=2（舍去）；
当m=-12时，(√(3))/(6)m2-(4)/(3)√(3)m+2√(3)=42√(3)；
∴此时点P的坐标为(-12，42√(3))；
综上所述，当点P坐标为(-3，(15)/(2)√(3))或(-12，42√(3))时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．（2分）