已知直线l与圆C：x2+y2+2x-4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为2，求实数a的取值范围；（3）已知N

Question

已知直线l与圆C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），
（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；
（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为√(2)，求实数a的取值范围；
（3）已知N（0，-3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=√(3)PN，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）圆C：(x+1)2+(y−2)2＝5−a，C(−1，2)，r＝√(5−a)(a＜5)…（1分）
据题意：CM＝√(2)＜√(5−a)⇒a＜3…（2分）
因为CM⊥AB，⇒k_CM•k_AB=-1，k_CM=-1，⇒k_AB=1
所以直线l的方程为x-y+1=0…（4分）
（2）与直线l平行且距离为√(2)的直线为：l₁：x-y+3=0过圆心，有两个交点，…（6分）
l₂：x-y-1=0与圆相交，⇒2√(2)＜√(5−a)⇒a＜−3；…（8分）
（3）设P(x，y)，PM＝√(3)PN⇒x2+(y+5)2＝12…（12分）
据题意：两个圆相交：|√(5−a)−2√(3)|＜5√(2)＜√(5−a)+2√(3)⇒−57−20√(6)＜a＜20√(6)−57…（14分）
且20√(6)−57＜3，所以：−57−20√(6)＜a＜20√(6)−57…（16分）