设积分∫L[f′（x）+2f（x）+ex]ydx+f′（x）dy与路径无关，且f（0）=0，f′（0）=1，试计算∫(1，1)(0，0)[f′（x）+2f（x）+ex]ydx+f′（x）dy的值．

Question

设积分∫_L[f′（x）+2f（x）+e^x]ydx+f′（x）dy与路径无关，且f（0）=0，f′（0）=1，试计算

∫	(1，1) (0，0)

[f′（x）+2f（x）+e^x]ydx+f′（x）dy的值．

Answer 1

因为曲线积分与路径无关，
故可取积分路径为有向折线段（0，0）→（1，0）→（1，1），
从而，原积分的值为：
I=

∫

1 0

f′(1)dy=f′（1）．
因为积分与路径无关，故
f′（x）+2f（x）+e^x=f″（x），①
即：f″（x）-f′（x）-2f（x）=e^x．
特征方程为：λ²-λ-2=0，
特征根为λ=-1，2．
设特解为y*=Ae^x，
代入可得，A=−(1)/(2)，
故特解为：y*=−(1)/(2)ex．
从而①的
y=f（x）=C₁e^-x+C₂e^2x-(1)/(2)ex．
由f（0）=0，f′（0）=1，可得：

C1+C2−(1)/(2)＝0

−C1+2C2−(1)/(2)＝1

，
求解可得，
C₁=−(1)/(6)，C₂=(2)/(3)．
故f（x）=−(1)/(6)e−x+(2)/(3)e2x-(1)/(2)ex，
从而，f′（1）=(1)/(6)e−1+(4)/(3)e2-(1)/(2)e．
故曲线积分的值为：
I=(1)/(6)e−1+(4)/(3)e2-(1)/(2)e．