如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF=HG．（1）求证：AB⊥CD；（2）若sin∠HGF=34，BF=3，求⊙O的半径长．

Question

如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF=HG．

（1）求证：AB⊥CD；
（2）若sin∠HGF=(3)/(4)，BF=3，求⊙O的半径长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OF，
∵HF是⊙O的切线，
∴∠OFH=90°．
即∠1+∠2=90°．
∵HF=HG，∴∠1=∠HGF．
∵∠HGF=∠3，∴∠3=∠1．
∵OF=OB，∴∠B=∠2．
∴∠B+∠3=90°．
∴∠BEG=90°．
∴AB⊥CD．
（2）如图，连接AF，
∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，
∴∠AFB=90°．
即∠2+∠4=90°．
∴∠HGF=∠1=∠4=∠A．
在Rt△AFB中，AB=(BF)/(sin∠A)=(3)/((3)/(4))=4．
∴⊙O的半径长为2．