解微分方程y""+9y=cosx+2x+1

Question

解微分方程y''+9y=cosx+2x+1

Answer 1

y''+9y=0的特征方程为;λ²+9=0.所以;λ=±3i,得通解为：y=C1sin(3x)+C2cos(3x),(C1,C2为任意常数)
设y''+9y=cosx的特解为：y=asinx+bcosx,则y'=acosx-bsinx,所以y"=-asinx-bcosx代入方程,有
(-asinx-bcosx)+9(asinx+bcosx)=cosx,即8asinx+8bcosx=cosx,所以a=0,b=1/8.
所以y''+9y=cosx的特解为：y=(1/8)cosx
设y''+9y=2x+1的特解为:y=cx+d,则y'=c.y"=0,代入方程,有
9(cx+d)=2x+1,所以c=2/9,d=1/9
所以y''+9y=2x+1的特解为:y=(2/9)x+(1/9)
故y''+9y=cosx+2x+1的解为：y=C1sin(3x)+C2cos(3x)+(1/8)cosx+(2/9)x+(1/9),(C1,C2为任意常数).