你能求（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：①（x-1）（x+1）=x2-1；②（x-1）（x2+x+1）=x3-1；③（x-1）（x

Question

你能求（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：
①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
（1）由此我们可以得到：（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=___；
（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=___．
请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：
（3）2⁵⁰+2⁴⁹+2⁴⁸+…+2+1．
（4）若x³+x²+x+1=0，求x²⁰¹⁶的值．

Answer 1

①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
（1）由此我们可以得到：（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1；
故答案为：x⁵-1；

（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ-1；

（3）2⁵⁰+2⁴⁹+2⁴⁸+…+2+1=（2-1）×（2⁵⁰+2⁴⁹+2⁴⁸+…+2+1）=2⁵¹-1；

（4）∵（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1=0，
∴x=±1，
∵x³+x²+x+1=0，
∴x≠1，x=-1，
∴x²⁰¹⁶=1．