一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用θ表示铁棒的长度L（θ）；（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值．

Question

一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：
（1）用θ表示铁棒的长度L（θ）；
（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值．

Answer 1

（1）根据题中图形可知，L(θ)＝(2)/(cosθ)+(2)/(sinθ)，θ∈(0，(π)/(2))．…（4分）
（2）本题即求L（θ）的最小值．…（5分）
解法一：L(θ)＝(2)/(cosθ)+(2)/(sinθ)＝2(sinθ+cosθ)/(sinθ•cosθ)，
令t＝sinθ+cosθ，t∈(1，√(2)]，原式可化为L(t)＝(4t)/(t2−1)＝(4)/(t−(1)/(t))…（9分）
因为L（t）为减函数，所以L(t)≥L(√(2))＝4√(2)．…（11分）
所以铁棒的最大长度为4√(2)m．…（12分）
解法二：因为

L(θ)＝(−2cosθ)/(sin2θ)+(2sinθ)/(cos2θ)

，所以

L′(θ)＝(−2cosθ)/(sin2θ)+(2sinθ)/(cos2θ)＝(2(sin3θ−cos3θ))/(sin2θcos2θ)

=(2(sinθ−cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ))/(sin2θcos2θ)…（9分）
因为θ∈(0，(π)/(2))，所以θ∈(0，(π)/(4)]时，L（θ）为减函数，θ∈[(π)/(4)，(π)/(2))时，L（θ）为增函数，所以L(θ)min＝L((π)/(4))＝4√(2)，…（12分）