我想问一下有关商空间的基本概念,太困惑了.我最近在自学向量空间,看到你以前回答的“商空间”问题,有个疑问.如果R^2={(x,y,0)},R^1={(0,0,z)},他们应该是R^3的补空间,那么R^3/R^2商空间应该是R^2

Question

我想问一下有关商空间的基本概念,太困惑了.
我最近在自学向量空间,看到你以前回答的“商空间”问题,有个疑问.如果R^2={(x,y,0)},R^1={(0,0,z)},他们应该是R^3的补空间,那么R^3/R^2商空间应该是R^2的陪集吧,也就是所有平面的集合,那么不就是R^3吗?这到底是怎么回事啊?

Answer 1

问题是在 R^3/R^2 中,每个平面被看成是一个点.或者讲,在 R^3 的所有点中,由 "z坐标相等" 定义了一个等价关系,就是说,我们把所有(x1,y1,z)和( x2,y2,z) 看作是同一点.这样空间就变了.定义 p:(x,y,z) -> z,因为等价的点的像相同,所以 p 实际上定义在 R^3/R^2 上,刚好就是商空间和R的一个同构.这就得到 R^3/R^2 和 R 的同构,这说明 R^3/R^2 就是 R,而不是 R^3.
这里你要理解空间的“点”可以是任意对象,或者说,集合的元素可以是任意对象.这里 R^3/R^2 的元素都是平面.