已知a,b,c为正数,abc(a+b+c)=1.(1)求S=(a+b)(b+c)的最小值(2)当S最小时,求c的最大值

Question

已知a,b,c为正数,abc(a+b+c)=1.(1)求S=(a+b)(b+c)的最小值 (2)当S最小时,求c的最大值

Answer 1

（1）
(a+c)(b+c)
=ab+ac+bc+c²
=ab+c(a+b+c)
=ab+1/(ab)
≥2√[ab*1/(ab)]=2
当且仅当ab=1/ab时等号成立
所以S=(a+b)(b+c)的最小值为2
（2）
ab=1/ab得ab=1,b=1/a
代入abc(a+b+c)=1得c(a+b+c)=1
c(a+b)+c²=1
c²+（a+1/a)c-1=0
根据求根公式得
c=[-(a+1/a)+√(a+1/a)²+4]/2
设a+1/a=t≥2则
c=[√(t²+4)-t]/2
c=2/[√(t²+4)+t]
可见,分母中t越大,则c越小
所以去t=a+1/a=2时c得到最大值
最大值为c=√2-1