函数f(x)=-9x^2-6ax+2a-a^2在区间-1/3,1/3上的最大值为-3,求实数a的值

Question

函数f(x)=-9x^2-6ax+2a-a^2在区间【-1/3,1/3】上的最大值为-3,求实数a的值

Answer 1

f(x)=-9x²-6ax+2a-a²=-(3x+a)²+2a
∴对称轴为x=-a/3
①当-a/3＜-1/3时,即a＞1时,此时f(x)在[-1/3,1/3]上为单调减函数
fmax=f(-1/3)=-(-1+a)²+2a=-a²+4a-1=-3
即a²-4a-2=0,a=2±√6
又∵a＞1,∴a=2+√6
②当-1/3≤-a/3≤1/3时,即-1≤a≤1时,此时顶点在区间内部
fmax=f(-a/3)=2a=-3
即a=-3/2
又∵-1≤a≤1,∴a无解
③当-a/3＞1/3时,即a＜-1时,此时f(x)在区间[-1/3,1/3]上为单调增函数
fmax=f(1/3)=-a²-1=-3
即a=±√2
又∵a＜-1,∴a=-√2
综上所述：
a=-√2,或者a=2+√6