在锐角三角形ABC中,若A=2B,求最长边与最短边的取值范围?

Question

在锐角三角形ABC中,若A=2B,求最长边与最短边的取值范围?

Answer 1

求最长边与最短边的取值范围?这能有取值范围?可以取无限大
最长边与最短边的比的取值范围?是这?
锐角三角形
A=2B 所以 0＜2B＜90 所以 0＜B＜45度
A+2B=3B＞90度
所以 30＜B＜45度 所以 60＜A＜90度
所以 45＜C＜90度
所以 b边最小
(1)所以最长边与最短边的比的最大是C角无限接近90度.因为此时B角最小,而C角最大
正弦定理 sinB/b=sinC/c
所以 c/b=sinC/sinB＜1/(1/2)=2
(2)何时最小
a/b=sinA/sinB=sin2B/sinB=2cosB
c/b=sinC/sinB=sin(180-3B)/sinB=sin3B/sinB=[3sinB-4(sinB)立方]/sinB
=3-4(sinB)平方=4(cosB)平方-1
若c边为最长,则A＜C
因为A=2B 所以要比值最小 所以C-B应为无穷小
所以c作为最大边时 c/b＞2cos36度
若a是最大边 a/b＞2cos45度 (30＜B＜45度 所以 60＜A＜90度)
所以最长边比最小边的取值在最小时应为 a/b,它大于根号2
所以 根号2＜最长边/最短边＜2