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在△ABC中,∠ACB=90°,经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P.(1)如图①,当点O在AC上时,试说明2∠ACP=∠B;(2)如图②,AC=8,BC=6,当点O在△ABC外部时,求CP长的取值范围.
题目详情
在△ABC中,∠ACB=90°,经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P.
(1)如图①,当点O在AC上时,试说明2∠ACP=∠B;
(2)如图②,AC=8,BC=6,当点O在△ABC外部时,求CP长的取值范围.

(1)如图①,当点O在AC上时,试说明2∠ACP=∠B;
(2)如图②,AC=8,BC=6,当点O在△ABC外部时,求CP长的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)当点O在AC上时,OC为⊙O的半径,
∵BC⊥OC,且点C在⊙O上,
∴BC与⊙O相切.
∵⊙O与AB边相切于点P,
∴BC=BP,
∴∠BCP=∠BPC=
,
∵∠ACP+∠BCP=90°,
∴∠ACP=90°-∠BCP=90°-
=
∠B.
即2∠ACP=∠B;
(2)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=
=10,
如图,当点O在CB上时,OC为⊙O的半径,
∵AC⊥OC,且点C在⊙O上,
∴AC与⊙O相切,
连接OP、AO,
∵⊙O与AB边相切于点P,
∴OP⊥AB,
设OC=x,则OP=x,OB=BC-OC=6-x,
∵AC=AP,
∴PB=AB-AP=2,
在△OPB中,∠OPB=90°,
根据勾股定理得:OP2+BP2=OB2,即x2+22=(6-x)2,
解得:x=
,
在△ACO中,∠ACO=90°,AC2+OC2=AO2,
∴AO=
=
.
∵AC=AP,OC=OP,
∴AO垂直平分CP,
∴根据面积法得:CP=2×
=
,
由题意可知,当点P与点A重合时,CP最长,
综上,当点O在△ABC外时,
<CP≤8.

∵BC⊥OC,且点C在⊙O上,
∴BC与⊙O相切.
∵⊙O与AB边相切于点P,
∴BC=BP,
∴∠BCP=∠BPC=
180°-∠B |
2 |
∵∠ACP+∠BCP=90°,
∴∠ACP=90°-∠BCP=90°-
180°-∠B |
2 |
1 |
2 |
即2∠ACP=∠B;
(2)在△ABC中,∠ACB=90°,AB=
AC2+BC2 |
如图,当点O在CB上时,OC为⊙O的半径,
∵AC⊥OC,且点C在⊙O上,
∴AC与⊙O相切,
连接OP、AO,
∵⊙O与AB边相切于点P,
∴OP⊥AB,
设OC=x,则OP=x,OB=BC-OC=6-x,
∵AC=AP,
∴PB=AB-AP=2,
在△OPB中,∠OPB=90°,
根据勾股定理得:OP2+BP2=OB2,即x2+22=(6-x)2,
解得:x=
8 |
3 |
在△ACO中,∠ACO=90°,AC2+OC2=AO2,
∴AO=
AC2+OC2 |
8 |
3 |
10 |
∵AC=AP,OC=OP,
∴AO垂直平分CP,
∴根据面积法得:CP=2×
AC•OC |
AO |
16
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5 |
由题意可知,当点P与点A重合时,CP最长,
综上,当点O在△ABC外时,
8
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5 |
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