在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．

Question

在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．

（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；
（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．

Answer 1

（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，
∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，
∴BC与⊙O相切．
∵⊙O与AB边相切于点P，
∴BC=BP，
∴∠BCP=∠BPC=(180°-∠B)/(2)，
∵∠ACP+∠BCP=90°，
∴∠ACP=90°-∠BCP=90°-(180°-∠B)/(2)=(1)/(2)∠B．
即2∠ACP=∠B；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=√(AC2+BC2)=10，
如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，
∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，
∴AC与⊙O相切，
连接OP、AO，
∵⊙O与AB边相切于点P，
∴OP⊥AB，
设OC=x，则OP=x，OB=BC-OC=6-x，
∵AC=AP，
∴PB=AB-AP=2，
在△OPB中，∠OPB=90°，
根据勾股定理得：OP²+BP²=OB²，即x²+2²=（6-x）²，
解得：x=(8)/(3)，
在△ACO中，∠ACO=90°，AC²+OC²=AO²，
∴AO=√(AC2+OC2)=(8)/(3)√(10)．
∵AC=AP，OC=OP，
∴AO垂直平分CP，
∴根据面积法得：CP=2×(AC•OC)/(AO)=(16√(10))/(5)，
由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，
综上，当点O在△ABC外时，(8√(10))/(5)＜CP≤8．