用通俗的话讲解,什么叫导数与微分?两者的区别是什么?

Question

用通俗的话讲解,什么叫导数与微分?两者的区别是什么?

Answer 1

1、一元函数,可导就是可微,没有本质区别,完全是一个意思的两种表述：
可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率；
可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性.
dx、dy:可微性； dy/dx:可导性
dy = (dy/dx)dx,在工程应用中,变成：Δy = (dy/dx)Δx
这就是可导、可微之间的关系：
可导 = 可微 = Differentiable.
导数 = 微分 = Differentiation,Derivative
不可导 = 不可微 = Undifferentiable
【说穿了,可以说是中文在玩游戏,也可以说中文概念更精确性】
2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念,
有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念.
【说穿了,可以说也是中文在玩游戏,也可以说中文概念更有思辩性】
多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念
一元函数,无所谓偏导、全导,也没有全微分、偏微分、方向导数的概念.
3、对于多元函数,沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数,
a、沿任何特定方向的导数都是方向导数.
b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient).
c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯
这样称呼,我们习惯称为全微分,其实是完全等同的意思.
一元函数没有这些概念.偏导就是全导,全导就是偏导.
4、dx、dy、du都是微分,只有在写成du=(?f/?x)dx + f/?y)dy时,
du才是全微分,而dx、dy就是偏微分,只是我们不习惯这样讲罢了.
f、?x、?y还是微分的概念,是df、dx、dy在多元函数中的变形.
x的单独变化会引起u的变化,du=(?f/?x)dx
y的单独变化会引起u的变化,du=(?f/?y)dy
其中的 f/?x、?f/?y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数.
f/?x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率,部分原因引起,为“偏”；
f/?y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率,部分原因引起,为“偏”.
x、y同时变化,引起u的变化是：
du=(?f/?x)dx + f/?y)dy
这就是全微分,所有原因共同引起为“全”.
总而言之,言而总之：
对一元函数,可导与可微没有本质区别；
对多元函数,可微是指所有方向可以偏导,可微的要求更高.