证明：等边三角形内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍．

Question

证明：等边三角形内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍．

Answer 1

已知：△ABC为等边三角形，点O为内心．
求证：点O为△ABC的外心，外接圆半径是内切圆半径的2倍．
证明：连结AO并延长交BC于D，连结BO并延长交AC于E，如图，
∵点O为△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
而△ABC为等边三角形，
∴AD⊥BC，BD=CD，BE⊥AC，AE=CE，
即AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴点O为△ABC的外心；
∵OD⊥BC，
∴OD为△ABC内切圆的半径，
∵OB平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=(1)/(2)OB，
∴△ABC外接圆半径OB是内切圆半径OD的2倍，
所以等边三角形内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍．