二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a是正整数），c≥1，a+b+c≥1，方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根，则a的最小值为．

Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a是正整数），c≥1，a+b+c≥1，方程ax²+bx+c=0有两个小于1的不等正根，则a的最小值为______．

Answer 1

设f（x）=a（x-p）（x-q），其中p，q属于（0，1）且p不等于q．
由f（0）≥1及f（1）≥1，可得
apq≥1，a（1-p）（1-q）≥1，
两式相乘有a²p（1-p）q（1-q）≥1，
即a²≥(1)/(p(1−p)q(1−q))，
又由基本不等式易知
p（1-p）q（1-q）≤(1)/(16)
由于上式取等号当且仅当p=q=(1)/(2)与已知矛盾，故上式的等号取不到，故
p（1-p）q（1-q）＜(1)/(16)
因此得到a²＞16即a＞4
而函数f（x）=5x²-5x+1满足题设的所有条件，因此a的最小值为5．