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弹跳杆运动是一项广受欢迎的运动.某种弹跳杆的结构如图甲所示,一根弹簧套在T型跳杆上,弹簧的下端固定在跳杆的底部,上端固定在一个套在跳杆上的脚踏板底部.一质量为M的小孩站
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弹跳杆运动是一项广受欢迎的运动.某种弹跳杆的结构如图甲所示,一根弹簧套在T型跳杆上,弹簧的下端固定在跳杆的底部,上端固定在一个套在跳杆上的脚踏板底部.一质量为M的小孩站在该种弹跳杆的脚踏板上,当他和跳杆处于竖直静止状态时,弹簧的压缩量为x0.从此刻起小孩做了一系列预备动作,使弹簧达到最大压缩量3x0,如图乙(a)所示;此后他开始进入正式的运动阶段.在正式运动阶段,小孩先保持稳定姿态竖直上升,在弹簧恢复原长时,小孩抓住跳杆,使得他和弹跳杆瞬间达到共同速度,如图乙(b)所示;紧接着他保持稳定姿态竖直上升到最大高度,如图乙(c)所示;然后自由下落.跳杆下端触地(不反弹)的同时小孩采取动作,使弹簧最大压缩量再次达到3x0;此后又保持稳定姿态竖直上升,…,重复上述过程.小孩运动的全过程中弹簧始终处于弹性限度内.已知跳杆的质量为m,重力加速度为g.空气阻力、弹簧和脚踏板的质量、以及弹簧和脚踏板与跳杆间的摩擦均可忽略不计.

(1)在预备阶段,小孩从静止状态所在的A点开始下降至某点B,后又上升至压缩量为2x0的C点的过程,设弹簧在B点处的压缩量为xm(2x0<xm<3x0),求小孩从A到B再到C的过程中弹簧弹力做的功W,并说明W与xm无关;
(2)在整个预备动作阶段,为增加系统(小孩和弹跳杆)的机械能,求小孩至少需做的功W′;
(3)求正式运动阶段每个周期内,小孩至少需要给系统(小孩和弹跳杆)补充的能量E.

(1)在预备阶段,小孩从静止状态所在的A点开始下降至某点B,后又上升至压缩量为2x0的C点的过程,设弹簧在B点处的压缩量为xm(2x0<xm<3x0),求小孩从A到B再到C的过程中弹簧弹力做的功W,并说明W与xm无关;
(2)在整个预备动作阶段,为增加系统(小孩和弹跳杆)的机械能,求小孩至少需做的功W′;
(3)求正式运动阶段每个周期内,小孩至少需要给系统(小孩和弹跳杆)补充的能量E.
▼优质解答
答案和解析
(1)画出弹簧弹力F的大小与弹簧压缩量x关系图如图,F-x图的面积代表F所做的功的大小.

下降阶段,弹簧压缩量从x0到xm的过程,弹簧弹力做负功,为
W1=-
(kx0+kxm)(xm-x0)=
kx02-
kxm2.
上升阶段,弹簧压缩量从xm到2x0的过程,弹簧弹力做正功,为
W2=+
[kxm+k(2x0)](xm-2x0)=
kxm2-
k(2x0)2
则弹簧弹力做的功 W=W1+W2=
kx02-
kxm2+
kxm2-
k(2x0)2=-
kx02,与xm无关.
(2)由功能关系可知,在预备阶段,小孩至少需做的功W′应满足
W′=△Ek+△EpG+△Ep弹=0+[-Mg(3x0-x0)]+[
k(3x0)2-
kx02]=2Mgx0
(3)正式运动阶段,当弹跳杆触地前瞬间,弹簧处于原长状态,由机械能守恒定律可知,小孩和弹跳杆的速度均为v1.弹跳杆触地瞬间,杆的速度减为0,小孩保持v1的速度.此后小孩以v1的初速度向下压缩弹簧,由能量守恒可知,为使每个周期内弹簧的最大压缩量为3x0,至少需要给(小孩和弹跳杆)系统补充的能量E满足
E=△Ek+△EpG+△Ep弹=[0-
Mv12]+[-Mg(3x0)]+[
k(3x0)2-0]=
[1-
]Mgx0=
答:(1)小孩从A到B再到C的过程中弹簧弹力做的功W为-
kx02,与xm无关.
(2)小孩至少需做的功W′为2Mgx0.
(3)正式运动阶段每个周期内,小孩至少需要给系统(小孩和弹跳杆)补充的能量E为
.

下降阶段,弹簧压缩量从x0到xm的过程,弹簧弹力做负功,为
W1=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
上升阶段,弹簧压缩量从xm到2x0的过程,弹簧弹力做正功,为
W2=+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
则弹簧弹力做的功 W=W1+W2=
| 1 |
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(2)由功能关系可知,在预备阶段,小孩至少需做的功W′应满足
W′=△Ek+△EpG+△Ep弹=0+[-Mg(3x0-x0)]+[
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
(3)正式运动阶段,当弹跳杆触地前瞬间,弹簧处于原长状态,由机械能守恒定律可知,小孩和弹跳杆的速度均为v1.弹跳杆触地瞬间,杆的速度减为0,小孩保持v1的速度.此后小孩以v1的初速度向下压缩弹簧,由能量守恒可知,为使每个周期内弹簧的最大压缩量为3x0,至少需要给(小孩和弹跳杆)系统补充的能量E满足
E=△Ek+△EpG+△Ep弹=[0-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| M2 |
| (M+m)2 |
| 3(2M+m)Mmgx0 |
| 2(M+m)2 |
答:(1)小孩从A到B再到C的过程中弹簧弹力做的功W为-
| 3 |
| 2 |
(2)小孩至少需做的功W′为2Mgx0.
(3)正式运动阶段每个周期内,小孩至少需要给系统(小孩和弹跳杆)补充的能量E为
| 3(2M+m)Mmgx0 |
| 2(M+m)2 |
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