如图示：一副三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为G、H（1）当

Question

如图示：一副三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为G、H

（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，你能发现线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．
（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、CB上，AB=CB=4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若变，求出它的取值范围．
（3）当三角板DEF旋转至图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）的结论仍然成立吗？并说明理由．

Answer 1

（1）BG和CH为相等关系，
如图1，连接BD，
∵等腰直角三角形ABC，D为AC的中点，
∴DB=DC=DA，∠DBG=∠DCH=45°，BD⊥AC，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADG+∠HDC=90°，
∵∠BDC=∠BDA=90°，
∴∠BDG+∠ADG=90°，
∴∠BDG=∠HDC，
∴在△BDG和△CDH中，

∠BDG=∠CDH

DB=DC

∠DBG=∠DCH

，
∴△BDG≌△CDH（ASA），
∴BG=CH，
（2）在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，
∵等腰直角三角形ABC，AB=BC=4cm，
∴S_△ABC=8cm²，
∴∠A=∠C=45°，
∵G、H点适中在边AB、BC上，
∴∠A=∠DBH，
∵BD⊥AC，∠BDG=∠CDH，
∴∠BDH=∠ADG，
∵BD=AD，
∴在△BDH和△ADG中，

∠DBH=∠A

DA=DB

∠ADG=∠BDH

，
∴△BDH≌△ADG（ASA），
∵△BDG≌△CDH，
∴S_{四边形DGBH}=S_△BDH+S_△GDB=S_△ABD，
∵DA=DC=DB，BD⊥AC，
∴S_△ABD=(1)/(2)S_△ABC，
∴S_{四边形DGBH}=(1)/(2)S_△ABC=4cm²，
∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变，
（3）当三角板DEF旋转至图2所示时，（1）的结论仍然成立，
如图2，连接BD，
∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，
∴∠BDG=90°-∠CDG，∠CDH=90°-∠CDG，
∴∠BDG=∠CDH，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴∠DBG=∠DCH=135°，
∴在△DBG和△DCH中，

∠DGB=∠DCH

BD=CD

∠BDG=∠CDH

，
∴△DBG≌△DCH（AAS），
∴BG=CH．