如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C、D两点，已知△ACD为正三角形，且DC=3km，当目标出现在B时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，求炮兵阵地与目标的距离是多少？（精确到0.01km）

Question

如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C、D两点，已知△ACD为正三角形，且DC=√(3)km，当目标出现在B时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，求炮兵阵地与目标的距离是多少？（精确到0.01km）

Answer 1

∵∠CDB=45°，∠BCD=75°，∴∠CBD=60°．
在△BCD中，由正弦定理得(CD)/(sin∠CBD)=(BC)/(sin∠BDC)，即(√(3))/(sin60°)=(BC)/(sin45°)，
解得BC=√(2)．
∵△ACD为正三角形，∴AC=√(3)，∠ACD=60°，∴∠ACB=135°．
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=BC²+AC²-2BC•AC•cos∠ACB=2+3-2√(3)=5+2√(3)．
∴AB=√(5+2√(3))≈2.91（km）．