设函数D（x）=1，x为有理数0，x为无理数，则下列结论正确的有（把你认为正确的序号都写上）．①D（x）的值域为{0，1}②D（x）的图象关于y轴对称③D（x）不是周期函数

Question

设函数D（x）=

1，x为有理数

0，x为无理数

，则下列结论正确的有______（把你认为正确的序号都写上）．
①D（x）的值域为 {0，1}               
②D（x）的图象关于y轴对称
③D（x）不是周期函数                 
④D（x）不是单调函数．

Answer 1

∵函数f（x）=

1，x为有理数

0，x为无理数

，
D（2）=1，D（3）=1，D（√(2)）=0，D（√(3)）=0．
显然函数D（x）不是单调函数，故④正确；
对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）=f（x）=1；
当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）=f（x）=0；
即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故③错误；
当x为有理数时，-x必为有理数，此时f（-x）=f（x）=1；当x为无理数时，-x必为无理数，此时f（-x）=f（x）=0．故f（x）是偶函数，即②正确；
函数值域为{0，1}，故①显然正确；
故答案为：①②④