将集合M={1,2,3,4,5}归入A,B,C三个集合,满足：1.每个元素至少包含于一个集合中2.这三个集合的交集是空将集合M={1,2,3,4,5}归入A,B,C三个集合,满足：1.每个元素至少包含于一个集合中2.这三个集合

Question

将集合M={1,2,3,4,5}归入A,B,C三个集合,满足：1.每个元素至少包含于一个集合中 2.这三个集合的交集是空
将集合M={1,2,3,4,5}归入A,B,C三个集合,满足：
1.每个元素至少包含于一个集合中
2.这三个集合的交集是空集
3.任意两个集合的交集不是空集
有几种方法

Answer 1

将问题一般化,假设n个元素归入A,B,C三个集合的方法数为an,则对an中的某一种方法,如果在三个集合中人一个添加n+1,则集合仍满足条件,因有三个集合得3an种方法,若对an中的某一种方法如果在三个集的任两个添加n+1,则集合也满足条件,此时有C3,2an=3an种方法,若对某一种方法中三个集合都添加n+1,则三个集合交不为空,不满足条件.故an+1=6an.
因三个集合任两个交不为空,故任一集合不能含有全部元素,否则,这个集合必含有另两个集合的公共元素,导致不满足条件3,.再者,任一集合不能少于两个元素,否则不满足条件2,且任一集合至少含有另两个集合中任一个的至少一个元素.
n=1,2时显然不满足条件.n=3时,集合A恰好含有两个元素,有C3,2=3种选法,集合B有C2,1C1,1=2种选法,集合C已同时被确定.故n=3时有3x2=6种方法.即a3=6,所以a4=6a3=36,a5=6a4=216.
故共有216种方法.