已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在x＜0上是减函数,在（0,1）上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.求f(2)的取值范围

Question

已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c在x＜0上是减函数,在（0,1）上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.求f(2)的取值范围

Answer 1

∵f（x）=-x3+ax2+bx+c,
∴f'（x）=-3x2+2ax+b．
∵f（x）在（-∞,0）上是减函数,在（0,1）上是增函数,
∴当x=0时,f（x）取到极小值,即f'（0）=0．∴b=0．
由（1）知,f（x）=-x3+ax2+c,
∵1是函数f（x）的一个零点,即f（1）=0,∴c=1-a．
∵f'（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0,x2=2a/3 ．
∵f（x）在（0,1）上是增函数,且函数f（x）在R上有三个零点,
∴x2=2a/3＞1 ,即 a＞2/3．
∴ f(2)=3a-7＞-5/2