用简化剩余系和欧拉函数知识求解若φ(m)是奇数,试求m的值

Question

用简化剩余系和欧拉函数知识求解
若φ(m)是奇数,试求m的值

Answer 1

由欧拉函数的公式就可以看出来满足题意的m只有1和2.
写完整点如下：
对正整数n,欧拉函数φ(n)是小于或等于n的正整数中,也就是相当于你所说的简化剩余系中,与n互质的数的数目.
(1)对一个素数p而言φ(p)=p-1
(2)对一个素数的方幂p^k而言φ(p^k)=(p-1)p^(k-1)
(3)对于互质的两个数a和b有φ(ab)=φ(a)φ(b)
如果m有奇素因子p,则φ(m)有因子p-1,p-1为偶数则φ(m)为偶数.
所以m没有奇素因子,所以m可以写为2^k的形式,由(2)可得φ(m)有因子2^(k-1),若k>1,则φ(m)为偶数.所以m只可能是1或2,φ(1)=φ(2)=1.