若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间[1e2，e]上是“三

Question

若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间[ (1)/(e2)，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为___．

Answer 1

若f（x）为“区域D上的三角形函数”．
则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M<2m，
∵函数f（x）=xlnx+m在区间[(1)/(e2)，e]上是“三角形函数”，
f′（x）=lnx+1，
当x∈[(1)/(e2)，(1)/(e)）时，f′（x）<0，函数f（x）递减；
当x∈（(1)/(e)，e]时，f′（x）>0，函数f（x）递增；
故当x=(1)/(e)时，函数f（x）取最小值-(1)/(e)+m，
又由f（e）=e+m，f（(1)/(e2)）=-(2)/(e2)+m，
故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m，
∴0<e+m<2（-(1)/(e)+m），
解得：m∈（ (e2+2)/(e)，+∞），
故答案为：（(e2+2)/(e)，+∞）．