称正整数集合A={a1，a2，…，an}（1≤a1<a2<…<an，n≥2）具有性质P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与ajai两数中至少有一个属于A．（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否

Question

称正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁<a₂<…<a_n，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与(aj)/(ai)两数中至少有一个属于 A．
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁<a₂<…<a_n，n≥2）具有性质 P．证明：对任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因数；
（3）求a_n=30时n的最大值．

Answer 1

（1）由于3×6与(6)/(3)均不属于数集{1，3，6}，∴数集{1，3，4} 不具有性质P；
由于1×3，1×4，1×12，3×4，(12)/(3)，(12)/(4)都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，3，4，12} 具有性质P．
（2）证明：设正整数集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁<a₂<…<a_n，n≥2）具有性质 P．
即有对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与(aj)/(ai)两数中至少有一个属于A．
运用反证法证明．假设存在一个数a_i不是a_n的因数，
即有a_ia_n与(ai)/(an)或(an)/(ai)，都不属于A，这与条件A具有性质P矛盾．
故假设不成立．
则对任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因数；
（3）由（2）可知，ai均为an=30的因数，
由于30=2×3×5，
由组合的知识可得2，3，5都有选与不选2种可能．
共有2×2×2=8种，
即有n的最大值为8．