已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+（b-5）2=0，规定A、B两点之间的距离记作AB=|a-b|（1）求A、B两点之间的距离AB；（2）设点P在线段AB之间且在数轴上对应的数为x，当PA+PB=1

Question

已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+（b-5）²=0，规定A、B两点之间的距离记作AB=|a-b|
（1）求A、B两点之间的距离AB；
（2）设点P在线段AB之间且在数轴上对应的数为x，当PA+PB=10时，求x的值；
（3）若点P在线段AB之外，N、M分别是PA、PB的中点．对于（1）PN+PM的值，（2）|PN-PM|的值．探究（1）（2）中值的结果，判断哪个结果的值一定是一个常数，说明理由并求出这个常数．

Answer 1

（1）∵|a+2|+（b-5）²=0，
∴a=-2，b=5，
∴AB=|a-b|=|-2-5|=7；
（2）如图1，若点P在A、B之间
PA=|x-（-2）|=x+2，
PB=|x-5|=5-x．
∴PA+PB=x+2+5-x=7<10
∴点P在A、B之间不合题意，舍去；
如图2，若点P在AB的延长线上时
PA=|x-（-2）|=x+2，
PB=|x-5|=x-5．
∵PA+PB=10，
∴x+2+x-5=10，
解，得x=(13)/(2)；
如图3，若点P在AB的反向延长线上时
PA=|x-（-2）|=-2-x
PB=|x-5|=5-x．
∵PA+PB=10，
∴-2-x+5-x=10，
解，得x=-(7)/(2)．
综上所述，当PA+PB=10时，x值为(13)/(2)，-(7)/(2)．
（3）（2）的值是一个常数，理由如下：
当点P在线段AB的右侧时，如图
有PN-PM=(1)/(2)PB-(1)/(2)PA=(1)/(2)(PB-PA)=(1)/(2)AB=-(7)/(2)
当点P线段AB的左侧时，如图
有PN-PM=(1)/(2)PB-(1)/(2)PA=(1)/(2)(PB-PA)=(1)/(2)AB=(7)/(2)．
∴点P在线段AB之外时，总有|PN-PM|=(7)/(2)