（2012•锦州）如图，抛物线y=ax2+bx-3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为103，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于

Question

（2012•锦州）如图，抛物线y=ax²+bx-3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为(10)/(3)，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线y=(3)/(4)x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=(3)/(4)x+m的表达式；
（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=(3)/(4)x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx-3交y轴于点C
∴C（0，-3）则 OC=3；
∵P到x轴的距离为(10)/(3)，P到y轴的距离是1，且在第三象限，
∴P（-1，-(10)/(3)）；
∵C关于直线l的对称点为A
∴A（-2，-3）；
将点A（-2，-3），P（-1，-(10)/(3)）代入抛物线y=ax²+bx-3中，有：

4a−2b−3＝−3

a−b−3＝−(10)/(3)

，解得

a＝(1)/(3)

b＝(2)/(3)

∴抛物线的表达式为y=(1)/(3)x²+(2)/(3)x-3．

（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°
∵∠DEG=∠BEC
∴△DEG∽△BEC
∵DE：BE=4：1，
∴DG：BC=4：1；
已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4；
将x=4代入y=(1)/(3)x²+(2)/(3)x-3中，得y=5，则 D（4，5）．
∵直线y=(3)/(4)x+m过点D（4，5）
∴5=(3)/(4)×4+m，则 m=2；
∴所求直线的表达式y=(3)/(4)x+2．

（3）由（2）的直线解析式知：F（0，2），OF=2；
设点M（x，(3)/(4)x+2），则：OM²=(25)/(16)x²+3x+4、FM²=(25)/(16)x²；
（Ⅰ）当OF为菱形的对角线时，点M在线段OF的中垂线上，则点M的纵坐标为1；
∴(3)/(4)x+2=1，x=-(4)/(3)；即点M的坐标（-(4)/(3)，1）．
（Ⅱ）当OF为菱形的边时，有：
①FM=OF=2，则：(25)/(16)x²=4，x₁=(8)/(5)、x₂=-(8)/(5)
代入y=(3)/(4)x+2中，得：y₁=(16)/(5)、y₂=(4)/(5)；
即点M的坐标（(8)/(5)，(16)/(5)）或（-(8)/(5)，(4)/(5)）；
②OM=OF=2，则：(25)/(16)x²+3x+4=4，x₁=0（舍）、x₂=-(48)/(25)
代入y=(3)/(4)x+2中，得：y=(14)/(25)；
即点M的坐标（-(48)/(25)，(14)/(25)）；
综上，存在符合条件的点M，且坐标为（-(4)/(3)，1）、（(8)/(5)，(16)/(5)）、（-(8)/(5)，(4)/(5)）、（-(48)/(25)，(14)/(25)）．