已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}的通项公式为cn=2n，求数列{an•cn}的前n项和Sn；（Ⅲ）若数列{bn}满足4b

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}的通项公式为c_n=2n，求数列{a_n•c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若数列{b_n}满足4b1−14b2−1…4bn−1＝(an+1)bn(n∈N*)，且b₂=4．证明：数列{b_n}是等差数列，并求出其通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1（n∈N*）．a_n+1+1=2（a_n+1），----------（3分）
{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴an+1＝2n．
即an＝2n−1(n∈N*)．--------------（4分）
（II）∵an＝2n−1，c_n=2n，∴ancn＝2n(2n−1)
∴S_n=a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃+…+a_nc_n=2[（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）]-----（6分）
设  A=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①
则2A=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹②
①-②得-A=1×2+1×2²+1×2³+…+1×2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=(2(1−2n))/(1−2)−n×2n+1=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2
∴A=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2
∴Sn＝(n−1)×2n+2+4−n(n+1)--------------（9分）
（Ⅲ）∵4b1−14b2−1…4bn−1＝(an+1)bn，∴4(b1+b2+…+bn)−n＝2nbn，
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．　②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，--------------（11分）
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，③nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．                    ④
④-③，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴bn+2−bn+1＝bn+1−bn(n∈N*)，∴{b_n}是等差数列．--------------（13分）
∵b₁=2，b₂=4，∴b_n=2n．--------------（15分）
（注：没有证明数列{b_n}是等差数列，直接写出b_n=2n，给2分）