已知复数z1满足（1-i）z1=1+3i，z2=a-i（a∈R），其中i为虚数单位．（1）求z1（2）若z1是关于x的实系数方程x2-px+q=0的一个根，求实数p、q的值．（3）若|z1-.z2|

Question

已知复数z ₁ 满足（1-i）z ₁ =1+3i，z ₂ =a-i（a∈R），其中i为虚数单位．
（1）求z ₁
（2）若z ₁ 是关于x的实系数方程x ² -px+q=0的一个根，求实数p、q的值．
（3）若  |  z 1 -

.

z 2

 | ＞ 

2

  | z 1 | ，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）因为复数z ₁ 满足（1-i）z ₁ =1+3i，
所以 z 1 =(1+3i)/(1-i) =((1+3i)(1+i))/((1-i)(1+i)) =-1+2i …（3分）
（2））z ₁ 是关于x的实系数方程x ² -px+q=0的一个根，实系数方程虚根成对，
由韦达定理可知p=-1+2i+（-1-2i）=-2，q=（-1+2i）（-1-2i）=1+4=5，
所以p=-2，q=5…（6分）
（3） z 1 -

.

z 2

 =(-1+2i) -(a+i) =-1-a+i …（8分）
由 |  z 1 -

.

z 2

 | ＞ 

2

  | z 1 | ，∴（-1-a） ² +1＞10…（10分）
∴a＜-4，或a＞2故实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（2，+∞）．…（12分）