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整数数列{a[n]}满足a[1]*a[2]+a[2]*a[3]+…+a[n-1]*a[n]=(n-1)n(n+1)/3(n=2,3,4……)求这样的数列的个数
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整数数列{a[n]}满足a[1]*a[2]+a[2]*a[3]+…+a[n-1]*a[n]=(n-1)n(n+1)/3(n=2,3,4……) 求这样的数列的个数
▼优质解答
答案和解析
n=2得a[1]*a[2] = 2
n=3得a[2]*a[3] = 6
n=4得a[3]*a[4] = 12
所以a[3] = 3a[1]
同理可得a[2n+1] = (2n+1)a[1]
若a[1]<0,则显然a[2]<0,a[3]＝3a[1] <0与结论矛盾
所以a[1]=1或a[1]=2
若a[1]=1则a[n]=n
若a[1]=2则
a[2] = 1
a[3]=6
a[4]=2……
所以一共有2个这样的数列
n=3得a[2]*a[3] = 6
n=4得a[3]*a[4] = 12
所以a[3] = 3a[1]
同理可得a[2n+1] = (2n+1)a[1]
若a[1]<0,则显然a[2]<0,a[3]＝3a[1] <0与结论矛盾
所以a[1]=1或a[1]=2
若a[1]=1则a[n]=n
若a[1]=2则
a[2] = 1
a[3]=6
a[4]=2……
所以一共有2个这样的数列
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