已知△ABC，D、E是射线BC上的两点，且BD=AB，CE=AC．（1）若AB=AC，且∠BAC=90°（如图），求证：AE2=BE•DE；（2）若△ABC是直角三角形，且AE2=BE•DE，求∠ABC的度数．（如果需要，自己画出符合条

Question

已知△ABC，D、E是射线BC上的两点，且BD=AB，CE=AC．
（1）若AB=AC，且∠BAC=90°（如图），求证：AE²=BE•DE；
（2）若△ABC是直角三角形，且AE²=BE•DE，求∠ABC的度数．（如果需要，自己画出符合条件的大致图形）

Answer 1

证明：（1）如图1，∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠BCA=45°，
∠BAD=∠BDA=(180°-45°)/(2)=67.5°，
∴∠DAC=90°-67.5°=22.5°，
∵AC=CE，
∴∠E=∠CAE=22.5°，
∴∠EAD=45°，
∴∠EAD=∠B，
∵∠E=∠E，
∴△EAD∽△EBA，
∴(AE)/(EB)=(ED)/(AE)，
∴AE²=BE•DE；
（2）若△ABC是直角三角形，分三种情况讨论：
①当∠BAC=90°时，如图1，
∵AE²=BE•DE，
∴(AE)/(BE)=(DE)/(AE)，
∵∠E=∠E，
∴△ADE∽△BAE，
∴∠DAE=∠B，
设∠E=x°，
∵AC=CE，
∴∠CAE=∠E=x°，
∴∠ACB=2x°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B=90°-2x°，
∵AB=AD，
∴∠BDA=∠BAD=(180-(90-2x))/(2)=45+x，
在△ADE中，∠DAE=∠B=90-2x，
∠ADB=∠DAE+∠E，
45+x=90-2x+x，
x=22.5°，
∴∠ABC=90-2x=45°；
②当∠ABC=90°时，如图2，
∵AE²=BE•DE，∠E=∠E，
∴△ADE∽△BAE，
但图2中，∠EAD≠∠B，
所以此种情况不成立；
③当∠ACB=90°时，如图3，
∵AC=CE，
∴∠CAE=∠E=45°，
∵AE²=BE•DE，∠E=∠E，
∴△ADE∽△BAE，
∴∠DAE=∠B，
设∠B=x°，则∠DAE=x°，∠BAC=90°-x°，
∴∠DAC=45°-x°，
∵AB=BD，
∴∠ADB=(180°-x°)/(2)=90°-(1)/(2)x°，
由∠BAD=∠ADB得：90-x+45-x=90-(1)/(2)x，
x=30°，
∴∠ABC=30°，
综上所述：∠ABC=45°或30°．