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十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数(V)、面树(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:(1)
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十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数(V)、面树(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:
(1)根据上面多面体模型,填写表格中的空格:
(2)根据上面的表格,猜想顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是___(用所给的字母表达);
(2)若一个多面体的面数比顶点数少14,且有48条棱,则这个多面体的面数是___;
(3)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体,它共有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体的面数为x,求x的值.
(1)根据上面多面体模型,填写表格中的空格:
多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
四面体 | 4 | 4 | 6 |
长方体 | 8 | 6 | ___ |
正八面体 | ___ | 8 | 12 |
正十二面体 | 20 | 12 | 30 |
(2)若一个多面体的面数比顶点数少14,且有48条棱,则这个多面体的面数是___;
(3)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体,它共有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体的面数为x,求x的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)观察图形,长方体的棱数为12,正八面体的顶点数为6;
(2)观察表格可以看出:顶点数+面数-棱数=2,关系式为:V+F-E=2;
(3)由题意得:F+F+14-48=2,解得F=18;
(4)∵该多面体的顶点数V=24,且每个顶点处有3条棱,
∴该多面体的棱数E=
=36条,
设面数为x,
∵V+F-E=2,
∴24+x-36=2,
解得:x=14.
故答案为:(1)12,6;(2)V+F-E=2;(3)18.
(2)观察表格可以看出:顶点数+面数-棱数=2,关系式为:V+F-E=2;
(3)由题意得:F+F+14-48=2,解得F=18;
(4)∵该多面体的顶点数V=24,且每个顶点处有3条棱,
∴该多面体的棱数E=
24×3 |
2 |
设面数为x,
∵V+F-E=2,
∴24+x-36=2,
解得:x=14.
故答案为:(1)12,6;(2)V+F-E=2;(3)18.
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