甲、乙、丙三数分别为603、939、393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是.A除丙数所得余数的2倍,求A.请在8月25日前帮我解出,

Question

甲、乙、丙三数分别为603、939、393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是.
A除丙数所得余数的2倍,求A.
请在8月25日前帮我解出,

Answer 1

这道题是1999小学数学奥林匹克赛决赛的题
A=17
这道题是倍余问题,倍余问题是同余问题的延伸.
正整数A、B、C除以同一个正整数D,所得的余数成倍数关系,我们就说正整数A、B、C对正整数D倍余.
这类问题有一个通用的解法.
正整数A除以正整数D的的余数是正整数B除以正整数D的余数的E倍,正整数B除以正整数D的的余数是正整数C除以正整数D的余数的F倍.求正整数D.
解法：
1,求出A与B*E的差,B与C*F的差,（大减小）,再求出这两个差的最大公约数M,列出M的所有公约数；
2,求出A、B、C的最大公约数N,列出N的所有公约数；
3,最大公约数M的所有公约数中不是最大公约数N的公约数的约数都有可能是D的取值；
4,验证这些取值,确定出正确的值.
例：有三个正整数603、939、393除以同一个数,603除以这个数的余数是939除以这个数的余数的2倍；939除以这个数的余数是393除以这个数的余数的2倍.求这个数.
939*2-603=1275,939-393*2=153,
（1275,153）=51=3*17；51的公约数有4个：1,3,17,51.
（603,939,393）=3.3的公约数有2个：1,3.
则D的可能取值有17和51两个.
603/17=35……8,939/17=55……4,393/17=23……2.则17是D的正确取值.
603/51=11……42,939/51=18……21,393/51=7……36.则51不是D的取值.
所以这个数是17.