1.求证：全体整数的集合可以划分为有序三元组（a,b,c）,使得每组的a^3b+b^3c+c^3a的绝对值都是完全平方数2.已知关于x的方程lg(4x^2-(8a-1)x+5a^2)+x^2+(1-2a)x+2a^2=lg(x^2-2(a+1)x-a^2)恰有一个实数根,求实

Question

1.求证：全体整数的集合可以划分为有序三元组（a,b,c）,使得每组的a^3 b+b^3 c+c^3 a的绝对值都是完全平方数
2.已知关于x的方程lg(4x^2-(8a-1)x+5a^2)+x^2+(1-2a)x+2a^2=lg(x^2-2(a+1)x-a^2)恰有一个实数根,求实参数a的所有可能值
3.已知正整数数列{An}满足A0=m,A n+1=An ^5+487.试求m的值,使得{An}中完全平方数的个数最大
4.求所有正整数组(a,b,p,n),使得p为素数,且a^3+b^3=p^n
5.确定是否存在一个正整数n,n无平方因子,恰好被2011个不同的质数整除,而且2^n+1被n整除
6.

Answer 1

3.显然m≡0,1,2,3(mod4),下面依次讨论.若m≡0(mod4),那么A[1]≡m^5+487≡487≡3(mod4),A[2]≡A[1]^5+487≡(-1)^5+487≡2(mod4),A[3]≡A[2]^5+487≡3(mod4),这样易得A[4]≡2(mod4),A[5]≡3(mod4),……,这样依次循环....