（2014•沈阳一模）已知函数f(x)＝sinx−3cosx+2，记函数f（x）的最小正周期为β，向量a＝(2，cosα)，b＝(1，tan(α+β2))（0＜α＜π4），且a•b＝73．（Ⅰ）求f（x）在区间[2π3，4π3]上的最值；（Ⅱ

Question

（2014•沈阳一模）已知函数f(x)＝sinx−√(3)cosx+2，记函数f（x）的最小正周期为β，向量

a

＝(2，cosα)，

b

＝(1，tan(α+(β)/(2)))（0＜α＜(π)/(4)），且

a

•

b

＝(7)/(3)．
（Ⅰ）求f（x）在区间[(2π)/(3)，(4π)/(3)]上的最值；
（Ⅱ）求(2cos2α−sin2(α+β))/(cosα−sinα)的值．

Answer 1

（Ⅰ）根据题意，可得
f(x)＝sinx−√(3)cosx+2=2(sinxcos(π)/(3)−cosxsin(π)/(3))+2=2sin(x−(π)/(3))+2．
∵x∈[(2π)/(3)，(4π)/(3)]，可得x−(π)/(3)∈[(π)/(3)，π]，∴sin(x−(π)/(3))∈[0，1]，
当x=(4π)/(3)时，f（x）的最小值是2；当x=(5π)/(6)时，f（x）的最大值是4．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin(x−(π)/(3))+2的周期T=2π，∴β=2π，
由此可得

a

•

b

＝2+cosα•tan(α+(β)/(2))＝2+cosαtan(α+π)＝2+sinα＝(7)/(3)，解之得sinα＝(1)/(3)．
∴(2cos2α−sin2(α+β))/(cosα−sinα)=(2cos2α−sin2(α+2π))/(cosα−sinα)=(2cos2α−sin2α)/(cosα−sinα)=(2cosα(cosα−sinα))/(cosα−sinα)=2cosα，
∵0＜α＜(π)/(4)，可得cosα=